Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x} \cdot \ln (\frac{1}{x}) d x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\ln (\frac{1}{x})}{x} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Dann ist $d u_{2} = - \frac{1}{x} d x$ , folglich $- d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = \ln (\frac{1}{x})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{x}$ zu dividieren.

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Schritt 2.1.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Schritt 2.1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{1 - 2}$

Schritt 2.1.8

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- x^{- 1}$

Schritt 2.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int - u_{2} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 5

Schreibe $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (\frac{1}{x})$ .

$- \frac{1}{2} \ln^{2} (\frac{1}{x}) + C$