Analysis Beispiele

$\int \frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch $\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$ in zwei Brüche.

$\int \frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Schritt 2.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\int \cot (x) + \frac{\tan^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\tan^{2} (x)$ und $\tan (x)$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $\tan (x)$ aus $\tan^{2} (x)$ heraus.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)} d x$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) \cdot 1} d x$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \cot (x) + \frac{\tan (x)}{1} d x$

Schritt 2.4.2.4

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\int \cot (x) + \tan (x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \cot (x) d x + \int \tan (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \int \tan (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |) + C + \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

$\ln (| \sin (x) |) + \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \sin (x) | | \sec (x) |) + C$

Schritt 6.2.2

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| \sin (x) \sec (x) |) + C$