Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x} + 2 x} d x$

Schritt 1

Let $u_{1} = \sqrt{x}$ . Then $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Rewrite using $u_{1}$ and $d u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = \sqrt{x}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 1.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2

Sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 4

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + u_{1}$ .

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C$

Schritt 4.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sqrt{x}$ .

$\ln (| 1 + \sqrt{x} |) + C$