Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 49}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 7 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 7 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $7 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(7 \sec (t))}^{2} - 49}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $7 \sec (t)$ an.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{7^{2} \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $49$ aus $49 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t)) - 49}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $49$ aus $- 49$ heraus.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $49$ aus $49 \sec^{2} (t) + 49 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 (\sec^{2} (t) - 1)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{49 \tan^{2} (t)}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $49 \tan^{2} (t)$ als ${(7 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(7 \tan (t))}^{2}}} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 \tan (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $7 \tan (t)$ aus ${(7 \sec (t))}^{2} (7 \tan (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $7 \tan (t)$ aus $7 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{7 \tan (t) ({(7 \sec (t))}^{2})} (7 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{7 \tan (t) {(7 \sec (t))}^{2}} (7 \tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{{(7 \sec (t))}^{2}}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 \sec (t))}^{2}} d t$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $7$ aus $7 \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t)}{{(7 (\sec (t)))}^{2}} d t$

Schritt 2.2.3.2

Wende die Produktregel auf $7 (\sec (t))$ an.

$\int \frac{\sec (t)}{7^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.3.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (t)$ und $\sec^{2} (t)$ .

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Schritt 2.2.3.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{49 \sec^{2} (t)} d t$

Schritt 2.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.4.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $49 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (49 \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{49 \sec (t)} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{49}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{49}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Schritt 4.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\frac{1}{49} \int 1 \cos (t) d t$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{49} \int \cos (t) d t$

Schritt 5

Das Integral von $\cos (t)$ nach $t$ ist $\sin (t)$ .

$\frac{1}{49} (\sin (t) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{49} \sin (t) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{7})$ .

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{x}{7})) + C$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{49} \sin (arcsec (\frac{1}{7} x)) + C$