Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)} d x$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ als ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ um.

$\int {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2} d x$

Schritt 1.3

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2} d x$

Schritt 1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\int {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} d x$

Schritt 1.5

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\int \cot^{2} (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\cot^{2} (x)$ in $- 1 + \csc^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$- x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 5

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$- x + C - \cot (x) + C$

Schritt 6

Vereinfache.

$- x - \cot (x) + C$