Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{t^{3} \sqrt{t^{2} - 9}} d t$

Schritt 1

Sei $t = 3 \sec (t_{1})$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d t = 3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1}) d t_{1}$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ positiv ist.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(3 \sec (t_{1}))}^{2} - 9}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sec (t_{1})$ an.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 \sec^{2} (t_{1})$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1})) - 9}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 \sec^{2} (t_{1}) + 9 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 (\sec^{2} (t_{1}) - 1)}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t_{1})}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9 \tan^{2} (t_{1})$ als ${(3 \tan (t_{1}))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t_{1}))}^{2}}} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \tan (t_{1})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3 \tan (t_{1})$ aus ${(3 \sec (t_{1}))}^{3} (3 \tan (t_{1}))$ heraus.

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $3 \tan (t_{1})$ aus $3 \sec (t_{1}) \tan (t_{1})$ heraus.

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) ({(3 \sec (t_{1}))}^{3})} (3 \tan (t_{1}) (\sec (t_{1}))) d t_{1}$

Schritt 2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{3 \tan (t_{1}) {(3 \sec (t_{1}))}^{3}} (3 \tan (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Schritt 2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}}$ und $\sec (t_{1})$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 \sec (t_{1}))}^{3}} d t_{1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sec (t_{1})$ heraus.

$\int \frac{\sec (t_{1})}{{(3 (\sec (t_{1})))}^{3}} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.2

Wende die Produktregel auf $3 (\sec (t_{1}))$ an.

$\int \frac{\sec (t_{1})}{3^{3} \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\int \frac{\sec (t_{1})}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (t_{1})$ und $\sec^{3} (t_{1})$ .

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Schritt 2.2.3.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{27 \sec^{3} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.4.2.1

Faktorisiere $\sec (t_{1})$ aus $27 \sec^{3} (t_{1})$ heraus.

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec (t_{1}) \cdot 1}{\sec (t_{1}) (27 \sec^{2} (t_{1}))} d t_{1}$

Schritt 2.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{27 \sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{27}$ konstant bezüglich $t_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{27}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{27} \int \frac{1}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{27} \int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})} d t_{1}$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t_{1})}$ als ${(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2}$ um.

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\sec (t_{1})})}^{2} d t_{1}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sec (t_{1})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{27} \int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t_{1})}})}^{2} d t_{1}$

Schritt 4.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (t_{1})}$ zu dividieren.

$\frac{1}{27} \int {(1 \cos (t_{1}))}^{2} d t_{1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\cos (t_{1})$ mit $1$ .

$\frac{1}{27} \int \cos^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Schritt 5

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t_{1})$ als $\frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{27} \int \frac{1 + \cos (2 t_{1})}{2} d t_{1}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{27} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{27}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 27} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{1}{54} \int 1 + \cos (2 t_{1}) d t_{1}$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{54} (\int d t_{1} + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (2 t_{1}) d t_{1})$

Schritt 10

Sei $u = 2 t_{1}$ . Dann ist $d u = 2 d t_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = 2 t_{1}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t_{1}}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $2 t_{1}$ .

$\frac{d}{d t_{1}} [2 t_{1}]$

Schritt 10.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 t_{1}$ nach $t_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d t_{1}} [t_{1}]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t_{1}} [{t_{1}}^{n}]$ gleich $n {t_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 11

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{54} (t_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

$\frac{1}{54} (t_{1} + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $t_{1}$ durch $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t_{1}$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t_{1})) + C$

Schritt 15.3

Ersetze alle $t_{1}$ durch $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))$ .

$\frac{1}{54} (arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}) + C$

Schritt 16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{t}{3}) + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Schritt 16.3

Kombiniere $\frac{1}{54}$ und $arcsec (\frac{t}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2} + C$

Schritt 16.4

Multipliziere $\frac{1}{54} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{54}$ mit $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{54 \cdot 2} + C$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $54$ mit $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{t}{3})}{54} + \frac{\sin (2 arcsec (\frac{t}{3}))}{108} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{54} arcsec (\frac{1}{3} t) + \frac{1}{108} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} t)) + C$