Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ und $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 {(\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3} \sin (t)}{2}$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.3.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{3} \sin (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3^{1} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 4 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 (- 1) \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 + 4 \cdot - 1 \frac{3 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 1 (3 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.6

Stelle $3$ und $\cos^{2} (t)$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{3} \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (t) \sqrt{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cdot (\cos (t) \sqrt{3})} d t$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{2 \cos (t) \sqrt{3}} d t$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \cos (t)} d t$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{2} d t$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} t + C$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2 x}{\sqrt{3}}) + C$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \arcsin (\frac{2}{\sqrt{3}} x) + C$