Analysis Beispiele

$\int \frac{t^{3} + \sqrt[3]{t}}{t^{2}} d t$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t}$ als $t^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{t^{3} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $t^{\frac{1}{3}}$ aus $t^{3} + t^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $t^{\frac{1}{3}}$ aus $t^{3}$ heraus.

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}}}{t^{2}} d t$

Schritt 1.1.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{t^{2}} d t$

Schritt 1.1.2.3

Faktorisiere $t^{\frac{1}{3}}$ aus $t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{8}{3}} + t^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ heraus.

$\int \frac{t^{\frac{1}{3}} (t^{\frac{8}{3}} + 1)}{t^{2}} d t$

Schritt 1.2

Bringe $t^{\frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2} t^{- \frac{1}{3}}} d t$

Schritt 1.3

Multipliziere $t^{2}$ mit $t^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 - \frac{1}{3}}} d t$

Schritt 1.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}}} d t$

Schritt 1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}}} d t$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{6 - 1}{3}}} d t$

Schritt 1.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\int \frac{t^{\frac{8}{3}} + 1}{t^{\frac{5}{3}}} d t$

Schritt 2

Bringe $t^{\frac{5}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) {(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d t$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d t$

Schritt 3.2

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d t$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{\frac{- 5}{3}} d t$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (t^{\frac{8}{3}} + 1) t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int t^{\frac{8}{3}} t^{- \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int t^{\frac{8}{3} - \frac{5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int t^{\frac{8 - 5}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 4.4

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int t^{\frac{3}{3}} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int t^{1} + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 4.6

Vereinfache.

$\int t + 1 t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $t^{- \frac{5}{3}}$ mit $1$ .

$\int t + t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int t d t + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int t^{- \frac{5}{3}} d t$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{5}{3}}$ nach $t$ gleich $- \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} t^{2} + C - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{2} t^{2} - \frac{3}{2} t^{- \frac{2}{3}} + C$