Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{3} + 3 x^{2}} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ heraus.

$\frac{x^{2} + 8 x - 3}{x^{2} (x + 3)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2} (x + 3)$ .

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x^{2} (x + 3))}{x^{2} (x + 3)} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x^{2} (x + 3))}{x^{2} (x + 3)} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 8 x - 3) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere $x^{2} + 8 x - 3$ durch $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 8 x - 3 = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.1.2

Dividiere $A (x + 3)$ durch $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A (x + 3) + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $A$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2} (x + 3))$ heraus.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.6.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.4.2.5

Dividiere $B (x (x + 3))$ durch $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x (x + 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 3) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B (x^{2} + 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + B (3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.1.6.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + \frac{C (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

Schritt 1.1.6.10.2

Dividiere $(C) (x^{2})$ durch $1$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + (C) (x^{2})$

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + C x^{2}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.7.1

Bewege $B$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 x B + C x^{2}$

Schritt 1.1.7.2

Bewege $3 A$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + B x^{2} + 3 x B + C x^{2} + 3 A$

Schritt 1.1.7.3

Bewege $3 x B$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 3 x B + 3 A$

Schritt 1.1.7.4

Bewege $A x$ .

$x^{2} + 8 x - 3 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 3 x B + 3 A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = B + C$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$8 = A + 3 B$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 3 = 3 A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$- 3 = 3 A$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$- 3 = 3 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $- 3 = 3 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $3 A = - 3$ um.

$3 A = - 3$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Schritt 1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 A = - 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 A = - 3$ durch $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Schritt 1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Schritt 1.3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Schritt 1.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = A + 3 B$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $8 = A + 3 B$ durch $- 1$ .

$8 = (- 1) + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$8 = - 1 + 3 B$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.3

Löse in $8 = - 1 + 3 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + 3 B = 8$ um.

$- 1 + 3 B = 8$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 B = 8 + 1$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $8$ und $1$ .

$3 B = 9$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$3 B = 9$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 B = 9$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 B = 9$ durch $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 B}{3} = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = \frac{9}{3}$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Dividiere $9$ durch $3$ .

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = B + C$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $1 = B + C$ durch $3$ .

$1 = (3) + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Entferne die Klammern.

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

$1 = 3 + C$

$B = 3$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5

Löse in $1 = 3 + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $3 + C = 1$ um.

$3 + C = 1$

$B = 3$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 1 - 3$

$B = 3$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

$C = - 2$

$B = 3$

$A = - 1$

Schritt 1.3.6

Löse das Gleichungssystem.

$C = - 2 B = 3 A = - 1$

Schritt 1.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$C = - 2, B = 3, A = - 1$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} + \frac{- 2}{x + 3}$

Schritt 1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x} - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int x^{- 2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{2}{x + 3} d x$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - (2 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{x + 3} d x$

Schritt 11

Sei $u = x + 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 11.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 11.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (- x^{- 1} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{1}{x} + 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| u |) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$\frac{1}{x} + 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| x + 3 |) + C$