Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = 2 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{({(2 \sec (t))}^{2} - 4)}^{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sec (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2^{2} \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t)) - 4)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1)}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 (\sec^{2} (t) - 1))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(4 \tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Wende die Produktregel auf $4 \tan^{2} (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{3} {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {(\tan^{2} (t))}^{3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

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Schritt 3.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 {\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{64 \tan^{6} (t)}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.9

Schreibe $64 \tan^{6} (t)$ als ${(8 \tan^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(8 \tan^{3} (t))}^{2}}} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{8 \tan^{3} (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \tan (t)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2 \tan (t)$ aus $8 \tan^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $2 \tan (t)$ aus $2 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{2 \tan (t) (4 \tan^{2} (t))} (2 \tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{4 \tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4 \tan^{2} (t)}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\sec (x)$ als $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ um.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 5.2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 5.3.2

Kombinieren.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\csc (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cot (t)}$ an.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 5.3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $\cot (t)$ und $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 5.3.6.2

Faktorisiere $\cot (t)$ aus ${\cot (t)}^{2}$ heraus.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 5.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 5.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Schritt 5.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Schritt 6

Da die Ableitung von $- \csc (t)$ gleich $\csc (t) \cot (t)$ ist, ist das Integral von $\csc (t) \cot (t)$ gleich $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (arcsec (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\csc (arcsec (\frac{x}{2}))$ $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Schritt 9.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Schritt 9.1.3

Kombinieren.

$- \frac{\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{2}$ und $b = 1$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 9.1.5.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.4

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{2}$ mit $\frac{x - 2}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.6

Schreibe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ um.

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Schritt 9.1.5.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 2) (x - 2)$ heraus.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$- \frac{\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)})}}{4} + C$

Schritt 9.1.5.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$- \frac{\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Schritt 9.1.6

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ .

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Schritt 9.1.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.7.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}}}{4} + C$

Schritt 9.1.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{x}{\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{1}}}{4} + C$

Schritt 9.1.7.2

Dividiere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ durch $1$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Schritt 9.1.8

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ mit $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ mit $\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.2

Potenziere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.3

Potenziere $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ mit $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1} {\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{1 + 1}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.6

Schreibe ${\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}^{2}$ als $(x + 2) (x - 2)$ um.

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Schritt 9.1.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ als ${((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{({((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{{((x + 2) (x - 2))}^{1}}}{4} + C$

Schritt 9.1.9.6.5

Vereinfache.

$- \frac{\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}}{4} + C$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{(x + 2) (x - 2) \cdot 4} + C$

Schritt 9.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{x \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{4 (x + 2) (x - 2)} + C$