Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Schreibe $\tan^{6} (t)$ als ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (t)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $\tan (t)$ aus $\tan^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $\tan (t)$ aus $\sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\sec (x)$ als $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ um.

$\int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 4.2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$\int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.2

Kombinieren.

$\int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\csc (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cot (t)}$ an.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.5

Kombiniere $\cot (t)$ und $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 4.3.6.2

Faktorisiere $\cot (t)$ aus ${\cot (t)}^{2}$ heraus.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Schritt 4.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int \csc (t) \cot (t) d t$

Schritt 5

Da die Ableitung von $- \csc (t)$ gleich $\csc (t) \cot (t)$ ist, ist das Integral von $\csc (t) \cot (t)$ gleich $- \csc (t)$ .

$- \csc (t) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (x)$ .

$- \csc (arcsec (x)) + C$