Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{2} - 1}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int (x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(x^{5} + 2 x^{2} - 1) x^{- 4}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{5} + 2 x^{2}) x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{5} x^{- 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{5 - 4} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 3.5

Vereinfache.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 4} - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x + 2 x^{2 - 4} - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 3.7

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\int x + 2 x^{- 2} - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 4} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 4} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 10.1.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 2 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} - - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + 1 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x^{3}}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{2}{x} + \frac{1}{3 x^{3}} + C$