Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{4} - 1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{4} - 1$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 0 + x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									-	$x^{2}$	+	$0$	-	$1$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + 0 - 1$

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									+	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$x^{2}$
									-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
									+	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$
														$0$

Schritt 1.11

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$\int x^{2} + 0 x - 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int 0 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 3

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\int x^{2} d x + \int 0 d x + \int - 1 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 0 d x + \int - 1 d x$

Schritt 5

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 0 + C + \int - 1 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 0 + C - x + C$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Addiere $0$ und $C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + C - x + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + C$