Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{4}}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{4}$ durch $x^{2} + 4$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 0 + 4 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 0 - 16$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$4 x^{2}$

$0 x$

$0$

$4 x^{2}$

$0$

$16$

Schritt 1.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x^{2} - 4 + \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 d x + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + \int \frac{16}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 4 x + C + 16 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 16 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{16}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 8.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 8.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 8.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + \frac{8}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 8.3.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 8 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$