Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{3} + 1$ durch $x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 0 - x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

Schritt 1.6

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$x$

$1$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x + \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x + 1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 4

Zerlege den Bruch $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ in zwei Brüche.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{x}{x^{2} - 1} d x + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 6

Sei $u_{1} = x^{2} - 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = x^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Schritt 10

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 10.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 10.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 10.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 10.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Schritt 10.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Schritt 10.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 10.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 10.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 10.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.7.1.2

Dividiere $(A) (x - 1)$ durch $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.7.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.7.4

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 10.1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 10.1.7.5.2

Dividiere $(B) (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Schritt 10.1.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Schritt 10.1.7.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Schritt 10.1.8

Bewege $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Schritt 10.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 10.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 10.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A + B$

Schritt 10.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 10.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 10.3.1

Löse in $0 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 10.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 0$ um.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 10.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 10.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 10.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = - 1 A + B$ durch $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (- B) + B$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Schritt 10.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Schritt 10.3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Schritt 10.3.3

Löse in $1 = 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 10.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 B = 1$ um.

$2 B = 1$

$A = - B$

Schritt 10.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 10.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 10.3.3.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Schritt 10.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 10.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 10.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.4.2.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 10.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 10.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 10.5

Vereinfache.

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Schritt 10.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 10.5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Schritt 10.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Schritt 10.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 14

Sei $u_{2} = x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 14.1

Es sei $u_{2} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 14.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 14.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 14.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 14.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 14.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 14.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 15

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Schritt 16

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 17

Sei $u_{3} = x - 1$ . Dann ist $d u_{3} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 17.1

Es sei $u_{3} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 17.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 17.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 17.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 17.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 17.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 17.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 18

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C)$

Schritt 19

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Schritt 20

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 20.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Schritt 20.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Schritt 20.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$