Analysis Beispiele

$\int \frac{4 + \sqrt{t}}{t^{3}} d t$

Schritt 1

Bringe $t^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) {(t^{3})}^{- 1} d t$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) t^{3 \cdot - 1} d t$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int (4 + \sqrt{t}) t^{- 3} d t$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int (4 + t^{\frac{1}{2}}) t^{- 3} d t$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2}} t^{- 3} d t$

Schritt 4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} - 3} d t$

Schritt 4.3

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}} d t$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}} d t$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1 - 3 \cdot 2}{2}} d t$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{1 - 6}{2}} d t$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$\int 4 t^{- 3} + t^{\frac{- 5}{2}} d t$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 4 t^{- 3} + t^{- \frac{5}{2}} d t$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 t^{- 3} d t + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int t^{- 3} d t + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- 3}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Kombiniere $t^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Schritt 9.2

Bringe $t^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int t^{- \frac{5}{2}} d t$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{5}{2}}$ nach $t$ gleich $- \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{- 2}{t^{2}} - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{t^{2}} - \frac{2}{3} t^{- \frac{3}{2}} + C$