Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{x}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} d x$

Schritt 2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1}$

Schritt 2.1.3

$\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 2.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{x {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{(A) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{A {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.1.2

Dividiere $(A) (x + 1)$ durch $1$ .

$x = (A) (x + 1) + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$x = A x + A + \frac{(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 1)}^{2}$ und $x - 1$ .

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Schritt 2.1.7.4.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(B) {(x - 1)}^{2} (x + 1)$ heraus.

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{x - 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.7.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = A x + A + \frac{(x - 1) (B (x - 1) (x + 1))}{(x - 1) \cdot 1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = A x + A + \frac{B (x - 1) (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.4.2.4

Dividiere $B (x - 1) (x + 1)$ durch $1$ .

$x = A x + A + B (x - 1) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A + (B x + B \cdot - 1) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B$ .

$x = A x + A + (B x - 1 \cdot B) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.7

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$x = A x + A + (B x - B) (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.8

Multipliziere $(B x - B) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.7.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A + B x (x + 1) - B (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 - B (x + 1) + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.7.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.7.9.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.7.9.1.1.1

Bewege $x$ .

$x = A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.9.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.9.1.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x - B x - B \cdot 1 + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} + B x - B x - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.9.2

Subtrahiere $B x$ von $B x$ .

$x = A x + A + B x^{2} + 0 - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.9.3

Addiere $B x^{2}$ und $0$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.1.7.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = A x + A + B x^{2} - B + \frac{(C) {(x - 1)}^{2} (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.10.2

Dividiere $(C) {(x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + (C) {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.1.7.11

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C ((x - 1) (x - 1))$

Schritt 2.1.7.12

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.7.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Schritt 2.1.7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Schritt 2.1.7.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.1.7.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.7.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.7.13.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.1.7.13.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.1.7.13.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.1.7.13.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 2.1.7.13.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - x - x + 1)$

Schritt 2.1.7.13.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C (x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 2.1.7.14

Wende das Distributivgesetz an.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} + C (- 2 x) + C \cdot 1$

Schritt 2.1.7.15

Vereinfache.

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Schritt 2.1.7.15.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} - 2 C x + C \cdot 1$

Schritt 2.1.7.15.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$x = A x + A + B x^{2} - B + C x^{2} - 2 C x + C$

Schritt 2.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.8.1

Bewege $- B$ .

$x = A x + A + B x^{2} + C x^{2} - 2 C x - B + C$

Schritt 2.1.8.2

Bewege $A$ .

$x = A x + B x^{2} + C x^{2} - 2 C x + A - B + C$

Schritt 2.1.8.3

Bewege $A x$ .

$x = B x^{2} + C x^{2} + A x - 2 C x + A - B + C$

Schritt 2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + C$

Schritt 2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A - 2 C$

Schritt 2.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A - 1 B + C$

Schritt 2.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B + C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = B + C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Schritt 2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.1

Löse in $0 = B + C$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $B + C = 0$ um.

$B + C = 0$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Schritt 2.3.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A - 1 B + C$

Schritt 2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- C$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $0 = A - 1 B + C$ durch $- C$ .

$0 = A - 1 (- C) + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache $A - 1 (- C) + C$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Multipliziere $- 1 (- C)$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 = A + 1 C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Schritt 2.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$0 = A + C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + C + C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Addiere $C$ und $C$ .

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$0 = A + 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Schritt 2.3.3

Löse in $0 = A + 2 C$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A + 2 C = 0$ um.

$A + 2 C = 0$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $2 C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = A - 2 C$

Schritt 2.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 2 C$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.4.1

Ersetze alle $A$ in $1 = A - 2 C$ durch $- 2 C$ .

$1 = (- 2 C) - 2 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.1

Subtrahiere $2 C$ von $- 2 C$ .

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$1 = - 4 C$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Schritt 2.3.5

Löse in $1 = - 4 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 C = 1$ um.

$- 4 C = 1$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Schritt 2.3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 C = 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 C = 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 C}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Schritt 2.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 C}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Schritt 2.3.5.2.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = \frac{1}{- 4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Schritt 2.3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

$C = - \frac{1}{4}$

$A = - 2 C$

$B = - C$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- \frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.6.1

Ersetze alle $C$ in $A = - 2 C$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$A = - 2 (- \frac{1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.6.2.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$A = - 2 (\frac{- 1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$A = 2 (- 1) (\frac{- 1}{4})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$A = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 \cdot 2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$A = - 1 (\frac{- 1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = - 1 (\frac{- 1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - 1 (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.2.1.3

Multipliziere $- 1 (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 2.3.6.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.2.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = - C$

Schritt 2.3.6.3

Ersetze alle $C$ in $B = - C$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$B = - (- \frac{1}{4})$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.6.4.1

Multipliziere $- (- \frac{1}{4})$ .

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Schritt 2.3.6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$B = 1 (\frac{1}{4})$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.6.4.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{2}, C = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{2}}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Schritt 2.5.2

Kombinieren.

$\frac{1 \cdot 1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Schritt 2.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{4}}{x + 1}$

Schritt 2.5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Schritt 2.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) \cdot 4}$

Schritt 2.5.8

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$4 \int \frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\int \frac{1}{2 {(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 5

Sei $u_{1} = x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 9

Sei $u_{2} = x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 9.1

Es sei $u_{2} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 9.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 9.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 9.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int - \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \int \frac{1}{4 (x + 1)} d x)$

Schritt 12

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1} d x))$

Schritt 13

Sei $u_{3} = x + 1$ . Dann ist $d u_{3} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{3} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 13.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 13.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 13.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 14

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$4 (- \frac{1}{2 u_{1}} + \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{4} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{4}) + C$

Schritt 16.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x + 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{4} - \frac{\ln (| x + 1 |)}{4}) + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$4 (- \frac{1}{2 (x - 1)} + \frac{1}{4} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| x + 1 |)) + C$