Analysis Beispiele

$\int 4^{- 4 x} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = - 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 1.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int - 4^{u_{1} - 1} d u_{1}$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int 4^{u_{1} - 1} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = u_{1} - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = u_{1} - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} - 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Schritt 3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \int 4^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Das Integral von $4^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)}$ .

$- (\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)} + C)$

Schritt 5

Schreibe $- (\frac{4^{u_{2}}}{\ln (4)} + C)$ als $- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{2}} + C$ um.

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{2}} + C$

Schritt 6

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} - 1$ .

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{u_{1} - 1} + C$

Schritt 6.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 4 x$ .

$- \frac{1}{\ln (4)} \cdot 4^{- 4 x - 1} + C$