Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{4 x^{3} - x} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x (4 x^{2}) - x}$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2}) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x (4 x^{2} - 1)}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1)}$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1^{2})}$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x ((2 x + 1) (2 x - 1))}$

Schritt 1.1.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1}{x (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1}$

Schritt 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{(4 x^{2} - 2 x + 1) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x (2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 x^{2} - 2 x + 1) ((2 x + 1) (2 x - 1))}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 x^{2} - 2 x + 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x^{2} - 2 x + 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.7.2

Dividiere $4 x^{2} - 2 x + 1$ durch $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.1.2

Dividiere $A ((2 x + 1) (2 x - 1))$ durch $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A ((2 x + 1) (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.2

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.1.8.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 x \cdot - 1$ und $1 (2 x)$ neu an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.3.2

Addiere $- 1 \cdot 2 x$ und $1 \cdot 2 x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.3.3

Addiere $2 x (2 x)$ und $0$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 x (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.4.2.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (4 x^{2} + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (4 x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = A (4 x^{2}) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.8

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 1.1.8.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{B (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.9.2

Dividiere $(B) (x (2 x - 1))$ durch $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + (B) (x (2 x - 1)) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.10

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (x (2 x) + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.12

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.13.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.13.1.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.13.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.13.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.14

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2}) + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.15

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 1.1.8.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{C (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.17.2

Dividiere $(C) (x (2 x + 1))$ durch $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + (C) (x (2 x + 1))$

Schritt 1.1.8.18

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (x (2 x) + x \cdot 1)$

Schritt 1.1.8.19

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Schritt 1.1.8.20

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x)$

Schritt 1.1.8.21

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.21.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 (x \cdot x) + x)$

Schritt 1.1.8.21.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2} + x)$

Schritt 1.1.8.22

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2}) + C x$

Schritt 1.1.8.23

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9

Stelle um.

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Schritt 1.1.9.1

Bewege $A$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9.2

Bewege $B$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - B x + 2 C x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9.3

Bewege $B$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9.4

Bewege $- A$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x - A$

Schritt 1.1.9.5

Bewege $- x B$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B + 2 C x^{2} - x B + C x - A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$1 = - 1 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $1 = - 1 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 A = 1$ um.

$- 1 A = 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.1.2.2.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{- 1}$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = \frac{1}{- 1}$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$A = - 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = - 1$

$4 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $4 = 4 A + 2 B + 2 C$ durch $- 1$ .

$4 = 4 (- 1) + 2 B + 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 = - 4 + 2 B + 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$4 = - 4 + 2 B + 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$4 = - 4 + 2 B + 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3

Löse in $4 = - 4 + 2 B + 2 C$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 + 2 B + 2 C = 4$ um.

$- 4 + 2 B + 2 C = 4$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 B + 2 C = 4 + 4$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.2.2

Subtrahiere $2 C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 B = 4 + 4 - 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.2.3

Addiere $4$ und $4$ .

$2 B = 8 - 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$2 B = 8 - 2 C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 8 - 2 C$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 8 - 2 C$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{8}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.3.3.1.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

$B = 4 + \frac{- 2 C}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 C$ heraus.

$B = 4 + \frac{2 (- C)}{2}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$B = 4 + \frac{2 (- C)}{2 (1)}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = 4 + \frac{2 (- C)}{2 \cdot 1}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = 4 + \frac{- C}{1}$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2.4

Dividiere $- C$ durch $1$ .

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $4 - C$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $- 2 = - 1 B + C$ durch $4 - C$ .

$- 2 = - 1 (4 - C) + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $- 1 (4 - C) + C$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 = - 1 \cdot 4 - 1 (- C) + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 2 = - 4 - 1 (- C) + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.4.2.1.1.3

Multipliziere $- 1 (- C)$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 = - 4 + 1 C + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.4.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$- 2 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + C + C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Addiere $C$ und $C$ .

$- 2 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$- 2 = - 4 + 2 C$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5

Löse in $- 2 = - 4 + 2 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 + 2 C = - 2$ um.

$- 4 + 2 C = - 2$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 C = - 2 + 4$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5.2.2

Addiere $- 2$ und $4$ .

$2 C = 2$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$2 C = 2$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 C = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 C = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 C}{2} = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = \frac{2}{2}$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.3.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$C = 1$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 4 - C$

$A = - 1$

Schritt 1.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.6.1

Ersetze alle $C$ in $B = 4 - C$ durch $1$ .

$B = 4 - (1)$

$C = 1$

$A = - 1$

Schritt 1.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.6.2.1

Vereinfache $4 - (1)$ .

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Schritt 1.3.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$B = 4 - 1$

$C = 1$

$A = - 1$

Schritt 1.3.6.2.1.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$B = 3$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 3$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 3$

$C = 1$

$A = - 1$

$B = 3$

$C = 1$

$A = - 1$

Schritt 1.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = 3, C = 1, A = - 1$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1}$

Schritt 1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{x} + \frac{3}{2 x + 1} + \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 x + 1} d x + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 x + 1} d x + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{3}{2 x + 1} d x + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 6

Sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 3 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 11

Sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 11.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 11.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 11.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 11.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 11.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 11.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 11.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 12.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$- \ln (| x |) + \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C$