Analysis Beispiele

$\int \frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{4 x^{3} - x} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2}) - x}$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (4 x^{2}) + x \cdot - 1$ heraus.

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (4 x^{2} - 1)}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1)}$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ({(2 x)}^{2} - 1^{2})}$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x ((2 x + 1) (2 x - 1))}$

Schritt 1.1.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 1}{x (2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1}$

Schritt 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (2 x + 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x (2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) ((2 x + 1) (2 x - 1))}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(6 x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.7.2

Dividiere $6 x^{2} - 2 x - 1$ durch $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = \frac{A (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.1.2

Dividiere $A ((2 x + 1) (2 x - 1))$ durch $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A ((2 x + 1) (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.2

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.1.8.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 x \cdot - 1$ und $1 (2 x)$ neu an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.3.2

Addiere $- 1 \cdot 2 x$ und $1 \cdot 2 x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.3.3

Addiere $2 x (2 x)$ und $0$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 x (2 x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.4.2.1

Bewege $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2} + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = A (4 x^{2}) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.8

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{(B) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 1.1.8.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + \frac{B (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x + 1} + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.9.2

Dividiere $(B) (x (2 x - 1))$ durch $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + (B) (x (2 x - 1)) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.10

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (x (2 x) + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.12

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x \cdot x - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.13.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.13.1.1

Bewege $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.13.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.13.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2} - x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.14

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + B (2 x^{2}) + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.15

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 1$ .

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Schritt 1.1.8.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + \frac{C (x (2 x + 1) (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 1.1.8.17.2

Dividiere $(C) (x (2 x + 1))$ durch $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + (C) (x (2 x + 1))$

Schritt 1.1.8.18

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (x (2 x) + x \cdot 1)$

Schritt 1.1.8.19

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Schritt 1.1.8.20

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x \cdot x + x)$

Schritt 1.1.8.21

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.21.1

Bewege $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 (x \cdot x) + x)$

Schritt 1.1.8.21.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2} + x)$

Schritt 1.1.8.22

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + C (2 x^{2}) + C x$

Schritt 1.1.8.23

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 A x^{2} - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9

Stelle um.

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Schritt 1.1.9.1

Bewege $A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 B x^{2} - B x + 2 C x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9.2

Bewege $B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - B x + 2 C x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9.3

Bewege $B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A - A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x$

Schritt 1.1.9.4

Bewege $- A$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - x B + 2 C x^{2} + C x - A$

Schritt 1.1.9.5

Bewege $- x B$ .

$6 x^{2} - 2 x - 1 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B + 2 C x^{2} - x B + C x - A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = - 1 A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$- 1 = - 1 A$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$- 1 = - 1 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $- 1 = - 1 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 A = - 1$ um.

$- 1 A = - 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1 A = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{A}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.1.2.2.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = \frac{- 1}{- 1}$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

$A = 1$

$6 = 4 A + 2 B + 2 C$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $6 = 4 A + 2 B + 2 C$ durch $1$ .

$6 = 4 (1) + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$6 = 4 + 2 B + 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3

Löse in $6 = 4 + 2 B + 2 C$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $4 + 2 B + 2 C = 6$ um.

$4 + 2 B + 2 C = 6$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 B + 2 C = 6 - 4$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.2.2

Subtrahiere $2 C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 B = 6 - 4 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.2.3

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$2 B = 2 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$2 B = 2 - 2 C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 2 - 2 C$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 2 - 2 C$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = \frac{2}{2} + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.3.1.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$B = 1 + \frac{- 2 C}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 C$ heraus.

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2 (1)}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = 1 + \frac{2 (- C)}{2 \cdot 1}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = 1 + \frac{- C}{1}$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2.4

Dividiere $- C$ durch $1$ .

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 B + C$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $1 - C$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $- 2 = - 1 B + C$ durch $1 - C$ .

$- 2 = - 1 (1 - C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $- 1 (1 - C) + C$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 = - 1 \cdot 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 = - 1 - 1 (- C) + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.4.2.1.1.3

Multipliziere $- 1 (- C)$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 = - 1 + 1 C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.4.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + C + C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Addiere $C$ und $C$ .

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$- 2 = - 1 + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.5

Löse in $- 2 = - 1 + 2 C$ nach $C$ auf.

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Schritt 1.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + 2 C = - 2$ um.

$- 1 + 2 C = - 2$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 C = - 2 + 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.5.2.2

Addiere $- 2$ und $1$ .

$2 C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$2 C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 C = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 C = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.5.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = \frac{- 1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

$C = - \frac{1}{2}$

$B = 1 - C$

$A = 1$

Schritt 1.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- \frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Ersetze alle $C$ in $B = 1 - C$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$B = 1 - (- \frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Schritt 1.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.6.2.1

Vereinfache $1 - (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.3.6.2.1.1

Multipliziere $- (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.3.6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$B = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Schritt 1.3.6.2.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$B = 1 + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = 1 + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Schritt 1.3.6.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Schritt 1.3.6.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{2 + 1}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Schritt 1.3.6.2.1.4

Addiere $2$ und $1$ .

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

$B = \frac{3}{2}$

$C = - \frac{1}{2}$

$A = 1$

Schritt 1.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = \frac{3}{2}, C = - \frac{1}{2}, A = 1$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B}{2 x + 1} + \frac{C}{2 x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x} + \frac{\frac{3}{2}}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 x + 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1}$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x - 1}$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x - 1}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{(2 x - 1) \cdot 2}$

Schritt 1.5.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x - 1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{3}{2 (2 x + 1)} - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{3}{2 (2 x + 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{3}{2 (2 x + 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 4

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{2 (2 x - 1)} d x$

Schritt 11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x - 1} d x)$

Schritt 12

Sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 12.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 12.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 12.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 13.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 16

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{3}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 17

Vereinfache.

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 1$ .

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| 2 x + 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$\ln (| x |) + \frac{3}{4} \ln (| 2 x + 1 |) - \frac{1}{4} \ln (| 2 x - 1 |) + C$