Analysis Beispiele

$\int \frac{6}{\sqrt{5^{2} - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int \frac{6}{\sqrt{25 - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 3

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 3.2

Schreibe $36 x^{2}$ als ${(6 x)}^{2}$ um.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(6 x)}^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 6 x$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 4.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{5})$

$6 (\frac{1}{6} (\arcsin (\frac{u}{5}) + C))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $6$ .

$\frac{6}{6} (\arcsin (\frac{u}{5}) + C)$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{6} (\arcsin (\frac{u}{5}) + C)$

Schritt 7.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 (\arcsin (\frac{u}{5}) + C)$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $\arcsin (\frac{u}{5}) + C$ mit $1$ .

$\arcsin (\frac{u}{5}) + C$

Schritt 7.2

Schreibe $\arcsin (\frac{u}{5}) + C$ als $\arcsin (\frac{1}{5} u) + C$ um.

$\arcsin (\frac{1}{5} u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$\arcsin (\frac{1}{5} \cdot 6 x) + C$