Analysis Beispiele

$\int \frac{\arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \arcsin (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \arcsin (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.2.1

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.6

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{2} u_{2} d u_{2}$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\arcsin (2 x)$ .

$\frac{1}{4} {\arcsin (2 x)}^{2} + C$