Analysis Beispiele

$\int \frac{\cos (\sqrt{6 t})}{\sqrt{6 t}} d t$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 6 t$ . Dann ist $d u_{1} = 6 d t$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{1} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 6 t$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $6 t$ .

$\frac{d}{d t} [6 t]$

Schritt 1.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 6} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{6} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Schritt 4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{6} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Schritt 4.3

Bringe ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{6} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 5

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 5.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{6} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C$

Schritt 10

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 10.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 t$ .

$\frac{1}{3} \sin ({(6 t)}^{\frac{1}{2}}) + C$