Analysis Beispiele

$\int \frac{12 + 10 x - 2 x^{2}}{x^{3} - 4 x} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12 + 10 x - 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 (6) + 10 x - 2 x^{2}}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{2 (6) + 2 (5 x) - 2 x^{2}}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (6) + 2 (5 x) + 2 (- x^{2})}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (6) + 2 (5 x)$ heraus.

$\frac{2 (6 + 5 x) + 2 (- x^{2})}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (6 + 5 x) + 2 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{2 (6 + 5 x - x^{2})}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (- x^{2} + 5 x + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 5 (x) + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2.1.2.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 6) x + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} - 1 x + 6 x + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.2.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 6 x + 6)}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (- x - 1) - 6 (- x - 1))}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{2 ((- x - 1) (x - 6))}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x^{3} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x \cdot x^{2} - 4 x}$

Schritt 1.1.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}$

Schritt 1.1.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x (x^{2} - 4)}$

Schritt 1.1.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x (x^{2} - 2^{2})}$

Schritt 1.1.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 1.1.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$

Schritt 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) (x (x + 2) (x - 2))}{x (x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) ((x + 2) (x - 2))}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 1.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x - 1) (x - 6) (x - 2)}{x - 2} = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5.3.2

Dividiere $2 (- x - 1) (x - 6)$ durch $1$ .

$2 (- x - 1) (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (- x) + 2 \cdot - 1) (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5.5

Multipliziere.

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Schritt 1.1.5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(- 2 x + 2 \cdot - 1) (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - 2) (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.6

Multipliziere $(- 2 x - 2) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x (x - 6) - 2 (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 6 - 2 (x - 6) = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 6 - 2 x - 2 \cdot - 6 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.7.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 12 x - 2 x - 2 \cdot - 6 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$- 2 x^{2} + 12 x - 2 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2 x$ von $12 x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = \frac{A (x (x + 2) (x - 2))}{x} + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.1.2

Dividiere $A ((x + 2) (x - 2))$ durch $1$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A ((x + 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.2

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x (x - 2) + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.1.8.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.3.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.3.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x \cdot x + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x^{2} + 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A (x^{2} - 4) + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.6

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $A$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 1.1.8.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + \frac{B (x (x + 2) (x - 2))}{x + 2} + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.7.2

Dividiere $(B) (x (x - 2))$ durch $1$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + (B) (x (x - 2)) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.8

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x \cdot x + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} + x \cdot - 2) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.10

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B (x^{2} - 2 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.11

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} + B (- 2 x) + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{(C) (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 1.1.8.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + \frac{C (x (x + 2) (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 1.1.8.13.2

Dividiere $(C) (x (x + 2))$ durch $1$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + (C) (x (x + 2))$

Schritt 1.1.8.14

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x \cdot x + x \cdot 2)$

Schritt 1.1.8.15

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + x \cdot 2)$

Schritt 1.1.8.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C (x^{2} + 2 \cdot x)$

Schritt 1.1.8.17

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + C (2 x)$

Schritt 1.1.8.18

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 B x + C x^{2} + 2 C x$

Schritt 1.1.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.9.1

Bewege $B$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} - 4 A + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x$

Schritt 1.1.9.2

Bewege $- 4 A$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} - 2 x B + C x^{2} + 2 C x - 4 A$

Schritt 1.1.9.3

Bewege $- 2 x B$ .

$- 2 x^{2} + 10 x + 12 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x B + 2 C x - 4 A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 2 = A + B + C$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$12 = - 4 A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$12 = - 4 A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Löse in $12 = - 4 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 A = 12$ um.

$- 4 A = 12$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 A = 12$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 A = 12$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = \frac{12}{- 4}$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.2.3.1

Dividiere $12$ durch $- 4$ .

$A = - 3$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

$A = - 3$

$- 2 = A + B + C$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $- 2 = A + B + C$ durch $- 3$ .

$- 2 = (- 3) + B + C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$- 2 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

$- 2 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

$- 2 = - 3 + B + C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.3

Löse in $- 2 = - 3 + B + C$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 + B + C = - 2$ um.

$- 3 + B + C = - 2$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B + C = - 2 + 3$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.3.2.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 2 + 3 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.3.2.3

Addiere $- 2$ und $3$ .

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 B + 2 C$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $1 - C$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $10 = - 2 B + 2 C$ durch $1 - C$ .

$10 = - 2 (1 - C) + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $- 2 (1 - C) + 2 C$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 = - 2 \cdot 1 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$10 = - 2 - 2 (- C) + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$10 = - 2 + 2 C + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 + 2 C + 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Addiere $2 C$ und $2 C$ .

$10 = - 2 + 4 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 + 4 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 + 4 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$10 = - 2 + 4 C$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.5

Löse in $10 = - 2 + 4 C$ nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 + 4 C = 10$ um.

$- 2 + 4 C = 10$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 C = 10 + 2$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.5.2.2

Addiere $10$ und $2$ .

$4 C = 12$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$4 C = 12$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 C = 12$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 C = 12$ durch $4$ .

$\frac{4 C}{4} = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 C}{4} = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.5.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = \frac{12}{4}$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.3.3.1

Dividiere $12$ durch $4$ .

$C = 3$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = 3$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = 3$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

$C = 3$

$B = 1 - C$

$A = - 3$

Schritt 1.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $3$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.1

Ersetze alle $C$ in $B = 1 - C$ durch $3$ .

$B = 1 - (3)$

$C = 3$

$A = - 3$

Schritt 1.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.2.1

Vereinfache $1 - (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$B = 1 - 3$

$C = 3$

$A = - 3$

Schritt 1.3.6.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$B = - 2$

$C = 3$

$A = - 3$

$B = - 2$

$C = 3$

$A = - 3$

$B = - 2$

$C = 3$

$A = - 3$

$B = - 2$

$C = 3$

$A = - 3$

Schritt 1.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 2, C = 3, A = - 3$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x - 2}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{3}{x} + \frac{- 2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x} + \frac{- 2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2}$

Schritt 1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{3}{x} - \frac{2}{x + 2} + \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{3}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 3 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{2}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- 3 (\ln (| x |) + C) - (2 \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 10

Sei $u_{1} = x + 2$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Es sei $u_{1} = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 10.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 10.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 10.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{3}{x - 2} d x$

Schritt 12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 13

Sei $u_{2} = x - 2$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{2} = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 13.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 13.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 13.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 13.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$- 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| u_{1} |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 2$ .

$- 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| x + 2 |) + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 2$ .

$- 3 \ln (| x |) - 2 \ln (| x + 2 |) + 3 \ln (| x - 2 |) + C$