Analysis Beispiele

$\int \frac{24 x^{5}}{3 + 4 x^{6}} d x$

Schritt 1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $24$ aus dem Integral.

$24 \int \frac{x^{5}}{3 + 4 x^{6}} d x$

Schritt 2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{6})}^{1}$ um.

$24 \int \frac{x^{5}}{3 + 4 {(x^{6})}^{1}} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = x^{6}$ . Dann ist $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = x^{6}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$24 \int \frac{1}{3 + 4 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

$24 \int \frac{1}{3 + 4 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 + 4 u_{1}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$24 \int \frac{1}{(3 + 4 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Schritt 4.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $3 + 4 u_{1}$ .

$24 \int \frac{1}{6 (3 + 4 u_{1})} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$24 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{3 + 4 u_{1}} d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $24$ .

$\frac{24}{6} \int \frac{1}{3 + 4 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $6$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $24$ heraus.

$\frac{6 \cdot 4}{6} \int \frac{1}{3 + 4 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cdot 4}{6 (1)} \int \frac{1}{3 + 4 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 4}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{3 + 4 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int \frac{1}{3 + 4 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int \frac{1}{3 + 4 u_{1}} d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = 3 + 4 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 4 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = 3 + 4 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $3 + 4 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 + 4 u_{1}]$

Schritt 7.1.2

Differenziere.

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Schritt 7.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 4 u_{1}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [4 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [4 u_{1}]$

Schritt 7.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [4 u_{1}]$

Schritt 7.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [4 u_{1}]$ .

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Schritt 7.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $4 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $4 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 7.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 4 \cdot 1$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$0 + 4$

Schritt 7.1.4

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$4 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Schritt 8.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$4 \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 + 4 u_{1}$ .

$\ln (| 3 + 4 u_{1} |) + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{6}$ .

$\ln (| 3 + 4 x^{6} |) + C$