Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{3} + x} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 1.1.1.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x}$

Schritt 1.1.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x^{1}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2.2

Dividiere $(2 x - 1) (x - 2)$ durch $1$ .

$(2 x - 1) (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $(2 x - 1) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $x$ von $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.1.2

Dividiere $A (x^{2} + 1)$ durch $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.7.4.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

Schritt 1.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

Schritt 1.1.7.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.6.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

Schritt 1.1.7.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

Schritt 1.1.8

Bewege $A$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 5 = C$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A$

Schritt 1.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

$2 = A + B$

$- 5 = C$

$2 = A$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = - 5$ um.

$C = - 5$

$2 = A + B$

$2 = A$

Schritt 1.3.2

Schreibe die Gleichung als $A = 2$ um.

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = A + B$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $2 = A + B$ durch $2$ .

$2 = (2) + B$

$A = 2$

$C = - 5$

Schritt 1.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

$2 = 2 + B$

$A = 2$

$C = - 5$

Schritt 1.3.4

Löse in $2 = 2 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 1.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $2 + B = 2$ um.

$2 + B = 2$

$A = 2$

$C = - 5$

Schritt 1.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 2 - 2$

$A = 2$

$C = - 5$

Schritt 1.3.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

$B = 0$

$A = 2$

$C = - 5$

Schritt 1.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 0 A = 2 C = - 5$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 0, A = 2, C = - 5$

Schritt 1.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{2}{x} + \frac{0 x - 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{2}{x} + \frac{(0) \cdot x - 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0 \cdot x - 5$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $0 \cdot x$ heraus.

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) - 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (0 \cdot x) + 5 (- 1)$ heraus.

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 \cdot x - 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 (0 - 1)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{2}{x} + \frac{5 \cdot - 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{x} + \frac{- 5}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{2}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int - \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - \int \frac{5}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$2 (\ln (| x |) + C) - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 7.2

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 7.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$2 (\ln (| x |) + C) - 5 (\arctan (x) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$2 \ln (| x |) - 5 \arctan (x) + C$