Analysis Beispiele

$\int \frac{3}{2} \cdot (x e^{- 6 x}) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{x \cdot 3}{2} \cdot e^{- 6 x} d x$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{x \cdot 3}{2}$ und $e^{- 6 x}$ .

$\int \frac{x \cdot 3 e^{- 6 x}}{2} d x$

Schritt 1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int \frac{3 x e^{- 6 x}}{2} d x$

Schritt 2

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \int x e^{- 6 x} d x$

Schritt 3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 6 x}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{1}{6} e^{- 6 x}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Schritt 4

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Schritt 4.1

Kombiniere $e^{- 6 x}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{e^{- 6 x}}{6}) - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 6 x}}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{1}{6} e^{- 6 x} d x)$

Schritt 4.3

Kombiniere $e^{- 6 x}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \int - \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - - \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + 1 \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \int \frac{e^{- 6 x}}{6} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{- 6 x} d x)$

Schritt 8

Sei $u = - 6 x$ . Dann ist $d u = - 6 d x$ , folglich $- \frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$

Schritt 8.1.2

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{- 6} d u)$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int e^{u} (- \frac{1}{6}) d u)$

Schritt 9.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} \int - \frac{e^{u}}{6} d u)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- \int \frac{e^{u}}{6} d u))$

Schritt 11

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} + \frac{1}{6} (- (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)))$

Schritt 12

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u)$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u)$

Schritt 13

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Schreibe $\frac{3}{2} (- \frac{x e^{- 6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C))$ als $\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$ um.

$\frac{3}{2} (- \frac{1}{6} x e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Schritt 14.2

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{x}{6} e^{- 6 x} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Schritt 14.2.2

Kombiniere $e^{- 6 x}$ und $\frac{x}{6}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{1}{36} e^{u}) + C$

Schritt 14.2.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{36}$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{u}}{36}) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $- 6 x$ .

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6} - \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x} x}{6}) + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 16.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 6 x} x}{6}$ in den Zähler.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{6} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Schritt 16.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 (2)} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Schritt 16.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Schritt 16.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x} x}{2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{- e^{- 6 x} x}{2}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} (- \frac{e^{- 6 x}}{36}) + C$

Schritt 16.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 16.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 6 x}}{36}$ in den Zähler.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{36} + C$

Schritt 16.5.2

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 (12)} + C$

Schritt 16.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{3 \cdot 12} + C$

Schritt 16.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{- 6 x}}{12} + C$

Schritt 16.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{- e^{- 6 x}}{12}$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{2 \cdot 12} + C$

Schritt 16.7

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{- e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Schritt 16.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} + \frac{- e^{- 6 x}}{24} + C$

Schritt 16.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Schritt 16.9

Stelle die Faktoren in $- \frac{e^{- 6 x} x}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24}$ um.

$- \frac{x e^{- 6 x}}{4} - \frac{e^{- 6 x}}{24} + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{4} x e^{- 6 x} - \frac{1}{24} e^{- 6 x} + C$