Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x}{1 - x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x}{1 - x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 1 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- \ln (| 1 - x^{2} |) + C$