Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

Schritt 1

Sei $u = x (x - 1)$ . Dann ist $d u = (2 x - 1) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x - 1} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x (x - 1)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 1)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 1$ .

$x \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + (x - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x + x - 1$

Schritt 1.1.3.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x - 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $x (x - 1)$ .

$\ln (| x (x - 1) |) + C$