Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Schritt 2

Sei $x = 5 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \sec (t)$ an.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t)$ heraus.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ heraus.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Schreibe $25 \tan^{2} (t)$ als ${(5 \tan (t))}^{2}$ um.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 \tan (t)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $5 \tan (t)$ aus $5 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{{(5 \sec (t))}^{3}}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \int {(5 \sec (t))}^{3} \sec (t) d t$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec (t)$ heraus.

$3 \int {(5 (\sec (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Produktregel auf $5 (\sec (t))$ an.

$3 \int 5^{3} \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 3.2.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$3 \int 125 \sec^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 3.2.2.4

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$3 \int 125 (\sec^{1} (t) \sec^{3} (t)) d t$

Schritt 3.2.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \int 125 {\sec (t)}^{1 + 3} d t$

Schritt 3.2.2.6

Addiere $1$ und $3$ .

$3 \int 125 \sec^{4} (t) d t$

Schritt 4

Da $125$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $125$ aus dem Integral.

$3 (125 \int \sec^{4} (t) d t)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $125$ mit $3$ .

$375 \int \sec^{4} (t) d t$

Schritt 5.2

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$375 \int {\sec (t)}^{2 + 2} d t$

Schritt 5.3

Schreibe ${\sec (t)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ um.

$375 \int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Schreibe $\sec^{2} (t)$ in $1 + \tan^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$375 \int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 7

Sei $u = \tan (t)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = \tan (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\tan (t)$ nach $t$ ist $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$375 \int 1 + u^{2} d u$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$375 (\int d u + \int u^{2} d u)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$375 (u + C + \int u^{2} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$375 (u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$375 (u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 12.1

Ersetze alle $u$ durch $\tan (t)$ .

$375 (\tan (t) + \frac{1}{3} \tan^{3} (t)) + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$375 (\tan (arcsec (\frac{x}{5})) + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{x}{5})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$375 (\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{5}$ und $b = 1$ .

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$375 (\sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.10

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{5}$ mit $\frac{x - 5}{5}$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.11

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$375 (\sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.12

Schreibe $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ um.

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Schritt 13.1.12.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 5) (x - 5)$ heraus.

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.12.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$375 (\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.12.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$375 (\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$375 (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.1.14

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))$ .

$375 (\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3}) + C$

Schritt 13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$375 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Schritt 13.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 13.4.1

Faktorisiere $5$ aus $375$ heraus.

$5 (75) \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Schritt 13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 75 \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Schritt 13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 375 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.5.1

Faktorisiere $3$ aus $375$ heraus.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 (125) \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Schritt 13.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 3 \cdot 125 \frac{\tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5}))}{3} + C$

Schritt 13.5.3

Forme den Ausdruck um.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{x}{5})) + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$75 \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + 125 \tan^{3} (arcsec (\frac{1}{5} x)) + C$