Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{2} - 11}{x^{4} - 1} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{3 x^{2} - 11}{{(x^{2})}^{2} - 1}$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 x^{2} - 11}{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}$

Schritt 1.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Schritt 1.1.1.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{3 x^{2} - 11}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.3

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $C$ .

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Schritt 1.1.4

$\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$

Schritt 1.1.5

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((3 x^{2} - 11) (x + 1)) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x^{2} - 11) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.8.2

Dividiere $3 x^{2} - 11$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 11 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} - 11 = \frac{(A x + B) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 1} + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.1.2

Dividiere $((A x + B) (x + 1)) (x - 1)$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 11 = ((A x + B) (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.2

Multipliziere $(A x + B) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.9.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = (A x (x + 1) + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1)) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = (A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.3.1.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 11 = (A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.3.2

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.3.3

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 11 = (A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1) + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.4

Multipliziere $(A x^{2} + A x + B x + B) (x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + B x + B \cdot - 1$ .

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Schritt 1.1.9.5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $B x \cdot - 1$ und $B x$ neu an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x - B x + B x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.5.2

Addiere $- B x$ und $B x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + 0 + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.5.3

Addiere $A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{2} x + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.6.1.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A (x \cdot x^{2}) + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.9.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 1.1.9.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} - 11 = A x^{1 + 2} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + A x^{2} \cdot - 1 + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 \cdot (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.3

Schreibe $- 1 (A x^{2})$ als $- (A x^{2})$ um.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - (A x^{2}) + A x \cdot x + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.6.4.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A (x \cdot x) + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} + A x \cdot - 1 + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - 1 \cdot (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.6

Schreibe $- 1 (A x)$ als $- (A x)$ um.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - (A x) + B x \cdot x + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.6.7.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B (x \cdot x) + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} + B \cdot - 1 + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - 1 \cdot B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.6.9

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $A x^{3} - A x^{2} + A x^{2} - A x + B x^{2} - B$ .

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Schritt 1.1.9.7.1

Addiere $- A x^{2}$ und $A x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + 0 - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.7.2

Addiere $A x^{3}$ und $0$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 1.1.9.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + \frac{(C) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.8.2

Dividiere $(C) (x^{2} + 1) (x - 1)$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C) (x^{2} + 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.9

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C \cdot 1) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.10

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + (C x^{2} + C) (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.11

Multipliziere $(C x^{2} + C) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.9.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} (x - 1) + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C (x - 1) + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.12.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.9.12.1.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.12.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.9.12.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.12.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.12.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.12.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $C x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - 1 \cdot (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.12.3

Schreibe $- 1 (C x^{2})$ als $- (C x^{2})$ um.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - (C x^{2}) + C x + C \cdot - 1 + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.12.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $C$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - 1 \cdot C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.12.5

Schreibe $- 1 C$ als $- C$ um.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.9.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + \frac{(D) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.9.13.2

Dividiere $(D) (x^{2} + 1) (x + 1)$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D) (x^{2} + 1) (x + 1)$

Schritt 1.1.9.14

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D \cdot 1) (x + 1)$

Schritt 1.1.9.15

Mutltipliziere $D$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + (D x^{2} + D) (x + 1)$

Schritt 1.1.9.16

Multipliziere $(D x^{2} + D) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.9.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} (x + 1) + D (x + 1)$

Schritt 1.1.9.16.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D (x + 1)$

Schritt 1.1.9.16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{2} x + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Schritt 1.1.9.17

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.9.17.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.9.17.1.1

Bewege $x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Schritt 1.1.9.17.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.9.17.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D (x \cdot x^{2}) + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Schritt 1.1.9.17.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{1 + 2} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Schritt 1.1.9.17.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} \cdot 1 + D x + D \cdot 1$

Schritt 1.1.9.17.2

Mutltipliziere $D$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D \cdot 1$

Schritt 1.1.9.17.3

Mutltipliziere $D$ mit $1$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - A x + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Schritt 1.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.10.1

Bewege $A$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Schritt 1.1.10.2

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x - C + D x^{3} + D x^{2} + D x + D$

Schritt 1.1.10.3

Bewege $- C$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} - B + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - C + D$

Schritt 1.1.10.4

Bewege $- B$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + C x + D x^{3} + D x^{2} + D x - B - C + D$

Schritt 1.1.10.5

Bewege $C x$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} - 1 x A + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} + C x + D x - B - C + D$

Schritt 1.1.10.6

Bewege $- 1 x A$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} - C x^{2} + D x^{3} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Schritt 1.1.10.7

Bewege $- C x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + B x^{2} + C x^{3} + D x^{3} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Schritt 1.1.10.8

Bewege $B x^{2}$ .

$3 x^{2} - 11 = A x^{3} + C x^{3} + D x^{3} + B x^{2} - C x^{2} + D x^{2} - 1 x A + C x + D x - B - C + D$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + C + D$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$3 = B - 1 C + D$

Schritt 1.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 1 A + C + D$

Schritt 1.2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.2.5

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + C + D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = A + C + D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Löse in $0 = A + C + D$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + C + D = 0$ um.

$A + C + D = 0$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.2.1

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A + D = - C$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.1.2.2

Subtrahiere $D$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$0 = - 1 A + C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- C - D$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 1 A + C + D$ durch $- C - D$ .

$0 = - 1 (- C - D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (- C - D) + C + D$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 1 (- C) - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2

Multipliziere $- 1 (- C)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 = 1 C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C - 1 (- D) + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- 1 (- D)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 = C + 1 D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $D$ mit $1$ .

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = C + D + C + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.2.1

Addiere $C$ und $C$ .

$0 = 2 C + D + D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.2.2.1.2.2

Addiere $D$ und $D$ .

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$0 = 2 C + 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3

Löse in $0 = 2 C + 2 D$ nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 C + 2 D = 0$ um.

$2 C + 2 D = 0$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $2 D$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 C = - 2 D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 C = - 2 D$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 C = - 2 D$ durch $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = \frac{- 2 D}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 D$ heraus.

$C = \frac{2 (- D)}{2}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$C = \frac{2 (- D)}{2 (1)}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$C = \frac{2 (- D)}{2 \cdot 1}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$C = \frac{- D}{1}$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.4

Dividiere $- D$ durch $1$ .

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$C = - D$

$A = - C - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $- D$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $C$ in $A = - C - D$ durch $- D$ .

$A = - (- D) - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $- (- D) - D$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.2.1.1

Multipliziere $- (- D)$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A = 1 D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $D$ mit $1$ .

$A = D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = D - D$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Subtrahiere $D$ von $D$ .

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$A = 0$

$C = - D$

$3 = B - 1 C + D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4.3

Ersetze alle $C$ in $3 = B - 1 C + D$ durch $- D$ .

$3 = B - 1 (- D) + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.4.1

Vereinfache $B - 1 (- D) + D$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.4.1.1

Multipliziere $- 1 (- D)$ .

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Schritt 1.3.4.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 = B + 1 D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4.4.1.1.2

Mutltipliziere $D$ mit $1$ .

$3 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + D + D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4.4.1.2

Addiere $D$ und $D$ .

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 1 B - 1 C + D$

Schritt 1.3.4.5

Ersetze alle $C$ in $- 11 = - 1 B - 1 C + D$ durch $- D$ .

$- 11 = - 1 B - 1 (- D) + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.4.6

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.6.1

Vereinfache $- 1 B - 1 (- D) + D$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.6.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.6.1.1.1

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$- 11 = - B - 1 (- D) + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.4.6.1.1.2

Multipliziere $- 1 (- D)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.6.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 11 = - B + 1 D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.4.6.1.1.2.2

Mutltipliziere $D$ mit $1$ .

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + D + D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.4.6.1.2

Addiere $D$ und $D$ .

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - B + 2 D$

$3 = B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.5

Löse in $3 = B + 2 D$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $B + 2 D = 3$ um.

$B + 2 D = 3$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.5.2

Subtrahiere $2 D$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 3 - 2 D$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 3 - 2 D$

$- 11 = - B + 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.6

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $3 - 2 D$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.6.1

Ersetze alle $B$ in $- 11 = - B + 2 D$ durch $3 - 2 D$ .

$- 11 = - (3 - 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.6.2.1

Vereinfache $- (3 - 2 D) + 2 D$ .

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Schritt 1.3.6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 11 = - 1 \cdot 3 - (- 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.6.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 11 = - 3 - (- 2 D) + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.6.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 11 = - 3 + 2 D + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 2 D + 2 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.6.2.1.2

Addiere $2 D$ und $2 D$ .

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$- 11 = - 3 + 4 D$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.7

Löse in $- 11 = - 3 + 4 D$ nach $D$ auf.

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Schritt 1.3.7.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 + 4 D = - 11$ um.

$- 3 + 4 D = - 11$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.7.2

Bringe alle Terme, die nicht $D$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.7.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 D = - 11 + 3$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.7.2.2

Addiere $- 11$ und $3$ .

$4 D = - 8$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$4 D = - 8$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.7.3

Teile jeden Ausdruck in $4 D = - 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.7.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 D = - 8$ durch $4$ .

$\frac{4 D}{4} = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 D}{4} = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.7.3.2.1.2

Dividiere $D$ durch $1$ .

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = \frac{- 8}{4}$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.7.3.3.1

Dividiere $- 8$ durch $4$ .

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

$D = - 2$

$B = 3 - 2 D$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.8

Ersetze alle Vorkommen von $D$ durch $- 2$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.1

Ersetze alle $D$ in $B = 3 - 2 D$ durch $- 2$ .

$B = 3 - 2 \cdot - 2$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.8.2.1

Vereinfache $3 - 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 1.3.8.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$B = 3 + 4$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.8.2.1.2

Addiere $3$ und $4$ .

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = - D$

Schritt 1.3.8.3

Ersetze alle $D$ in $C = - D$ durch $- 2$ .

$C = - (- 2)$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

Schritt 1.3.8.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.8.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

$C = 2$

$B = 7$

$D = - 2$

$A = 0$

Schritt 1.3.9

Liste alle Lösungen auf.

$C = 2, B = 7, D = - 2, A = 0$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ , $C$ und $D$ ermittelt wurden.

$\frac{0 x + 7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $7$ aus $0 \cdot x + 7$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $0 \cdot x$ heraus.

$\frac{7 (0 \cdot x) + 7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Schritt 1.5.1.1.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{7 (0 \cdot x) + 7 (1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Schritt 1.5.1.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (0 \cdot x) + 7 (1)$ heraus.

$\frac{7 (0 \cdot x + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{7 (0 + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Schritt 1.5.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{7 \cdot 1}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} + \frac{- 2}{x - 1}$

Schritt 1.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{7}{x^{2} + 1} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$7 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$7 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$7 (\arctan (x) + C) + \int \frac{2}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 7

Sei $u_{1} = x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Es sei $u_{1} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (2 \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 12

Sei $u_{2} = x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u_{2} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 12.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 12.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 13

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$7 (\arctan (x) + C) + 2 (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| u_{1} |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| x + 1 |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$7 \arctan (x) + 2 \ln (| x + 1 |) - 2 \ln (| x - 1 |) + C$