Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sin (x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{- 2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $1$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1^{- 1}) + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 1 \cdot 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 1}$

Schritt 4.2.3

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- 1 + \sqrt{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 1 + \sqrt{2}$

Dezimalform:

$0.41421356 \dots$