Analysis Beispiele

$\int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} 2 \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 2

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x)]_{\frac{- π}{4}}^{\frac{3 π}{4}})$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\sec (x)$ bei $\frac{3 π}{4}$ und $\frac{- π}{4}$ .

$2 ((\sec (\frac{3 π}{4})) - \sec (\frac{- π}{4}))$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\sec (\frac{3 π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 (- \sec (\frac{π}{4}) - \sec (- \frac{π}{4}))$

Schritt 4.1.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (- \frac{π}{4}))$

Schritt 4.1.3

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{7 π}{4}))$

Schritt 4.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (\frac{π}{4}))$

Schritt 4.1.5

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 (- \frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{- 2 - 2}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$2 \frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.5

Multipliziere $2 (- \frac{4}{\sqrt{2}})$ .

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{4}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{8}{\sqrt{2}}$

Dezimalform:

$- 5.65685424 \dots$