Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) - \cos (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \cos (x) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} \cos (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Berechne $- \cos (x)$ bei $\frac{5 π}{4}$ und $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{5 π}{4})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}})$

Schritt 5.1.2

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{5 π}{4}$ und $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \cos (\frac{5 π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- - \cos (\frac{π}{4}) + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3.3

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\sin (\frac{5 π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \sin (\frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3.4.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 5.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.6

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 5.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 5.3.7.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Schritt 5.3.8

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Schritt 5.3.8.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 5.3.10

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 5.3.11

Um $\sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.3.12

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 5.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Schritt 5.3.14

Stelle die Faktoren von $\sqrt{2} \cdot 2$ um.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.15

Addiere $2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 6.2.4

Dividiere $2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$2 \sqrt{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$2.82842712 \dots$