Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot^{3} (x) d x$

Schritt 1

Wende die Reduktionsformel an.

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$- \frac{\cot^{2} (x)}{2}]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Berechne $- \frac{\cot^{2} (x)}{2}$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{4}$ .

$(- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2}) + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 3.1.2

Berechne $\ln (| \sin (x) |)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Um $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.1.3.2

Kombiniere $- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)) \cdot 2}{2}$

Schritt 3.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{4})}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- \cot^{2} (\frac{π}{2}) - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Schritt 3.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))}{2}$

Schritt 3.2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1^{2}}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Schritt 3.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} + \frac{- 0^{2} - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Schritt 3.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))}{2}$

Schritt 3.2.8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} + \frac{0 - 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Schritt 3.2.9

Subtrahiere $2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ von $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{2}$

Schritt 3.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2}$

Schritt 3.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 (1)}$

Schritt 3.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} + \frac{2 (- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |}))}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})}{1}$

Schritt 3.2.10.2.4

Dividiere $- \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Schritt 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ist ungefähr $0.70710678$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Schritt 3.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} - \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Dezimalform:

$0.15342640 \dots$