Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec^{2} (x)}{\tan (x)} d x$

Schritt 1

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \tan (x)$ ein.

$u_{lower} = \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \tan (x)$ ein.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{\sqrt{3}}$

Schritt 3

Berechne $\ln (| u |)$ bei $\sqrt{3}$ und $1$ .

$\ln (| \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

$\sqrt{3}$ ist ungefähr $1.7320508$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

Schritt 5.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

Schritt 5.3

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\ln (\sqrt{3})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\sqrt{3})$

Dezimalform:

$0.54930614 \dots$