Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (x) - \tan (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \tan (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \tan (x) d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- \cos (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Berechne $- \cos (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$(- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 5.1.2

Berechne $\ln (| \sec (x) |)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 5.2.3

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (\frac{π}{4}) |))$

Schritt 5.2.4

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\ln (| 2 |) - \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |))$

Schritt 5.2.5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \frac{2}{\sqrt{2}} |})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2}{\sqrt{2}} |})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |})$

Schritt 5.3.2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |})$

Schritt 5.3.2.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |})$

Schritt 5.3.2.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |})$

Schritt 5.3.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |})$

Schritt 5.3.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |})$

Schritt 5.3.2.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |})$

Schritt 5.3.2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |})$

Schritt 5.3.2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |})$

Schritt 5.3.2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |})$

Schritt 5.3.2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |})$

Schritt 5.3.2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |})$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |})$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{| \sqrt{2} |})$

Schritt 5.3.2.4

$\sqrt{2}$ ist ungefähr $1.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Dezimalform:

$- 0.13946680 \dots$