Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) - \cos (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{6}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Schritt 2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{3}$

$u_{upper} = π$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{3}}^{π} \sin (u) d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{\frac{π}{3}}^{π} - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $- \cos (u)$ bei $π$ und $\frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 8.2

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{6}$ .

$\frac{1}{2} ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{3})) - ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 8.3

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{3})) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 9.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 9.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (1 - \frac{1}{2})$

Schritt 9.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{2 - 1}{2}$

Schritt 9.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Schritt 10.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Schritt 10.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Schritt 10.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 10.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 10.8

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

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Schritt 10.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2}$

Schritt 10.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 10.9

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 10.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4}$

Schritt 10.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2}{4}$

Schritt 10.12

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$