Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin (2 x) \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = \sin (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.1.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ ein.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 2.3.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = \sin (2 x)$ ein.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Schritt 2.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 2.5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 2.5.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 3

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} u_{2} d u_{2}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ bei $1$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.1.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 8.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 8.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 8.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 8.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Schritt 8.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{2}}$

Schritt 8.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$ .

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Schritt 8.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{4 \cdot 2}$

Schritt 8.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$

Schritt 8.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{8}$

Schritt 8.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4}{8} - \frac{3}{8}$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - 3}{8}$

Schritt 8.5

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{8}$

Dezimalform:

$0.125$