Analysis Beispiele

$\int \sec^{2} (x) \ln (e^{\tan (x)}) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\tan (x)$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \ln (e)) d x$

Schritt 1.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\int \sec^{2} (x) (\tan (x) \cdot 1) d x$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \sec (x)$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$