Analysis Beispiele

$\int \tan^{7} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\tan^{6} (x)$ aus.

$\int \tan^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int {\tan (x)}^{2 (3)} \tan (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\tan (x)}^{2 (3)}$ als Potenz um.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\int ({(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} + {(\sec^{2} (x))}^{3}) \tan (x) d x$

Schritt 5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int {(- 1)}^{3} \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\int - 1 \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2.2

Schreibe $- 1 \tan (x)$ als $- \tan (x)$ um.

$\int - \tan (x) + 3 {(- 1)}^{2} \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \cdot 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) + 3 \cdot - 1 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Schritt 5.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2.7

Multipliziere die Exponenten in ${(\sec^{2} (x))}^{3}$ .

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Schritt 5.2.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 3} \tan (x) d x$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int - \tan (x) + 3 \sec^{2} (x) \tan (x) - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) + \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \tan (x) d x + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 8

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + \int 3 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 10

Sei $u_{1} = \sec (x)$ . Dann ist $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{1} = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 10.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 \int u_{1} d u_{1} + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int - 3 \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 12

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 13

Sei $u_{2} = \sec (x)$ . Dann ist $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 13.1

Es sei $u_{2} = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 13.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 13.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 13.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 \int {u_{2}}^{3} d u_{2} + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{3}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int \sec^{6} (x) \tan (x) d x$

Schritt 15

Sei $u_{3} = \sec (x)$ . Dann ist $d u_{3} = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{3} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 15.1

Es sei $u_{3} = \sec (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 15.1.1

Differenziere $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 15.1.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 15.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \int {u_{3}}^{5} d u_{3}$

Schritt 16

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{5}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{1}{6} {u_{3}}^{6}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache.

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Schritt 17.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Schritt 17.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${u_{2}}^{4}$ .

$- (\ln (| \sec (x) |) + C) + 3 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) - 3 (\frac{{u_{2}}^{4}}{4} + C) + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Schritt 17.2

Vereinfache.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 {u_{1}}^{2}}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 {u_{2}}^{4}}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} {u_{3}}^{6} + C$

Schritt 18.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sec (x)$ .

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3 \sec^{2} (x)}{2} - \frac{3 \sec^{4} (x)}{4} + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$

Schritt 19

Stelle die Terme um.

$- \ln (| \sec (x) |) + \frac{3}{2} \sec^{2} (x) - \frac{3}{4} \sec^{4} (x) + \frac{1}{6} \sec^{6} (x) + C$