Analysis Beispiele

$\int \sqrt{x^{2} + 10 x} d x$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 10$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{10}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{1}$

Schritt 1.3.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$d = 5$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{100}{4}$

Schritt 1.4.2.1.3

Dividiere $100$ durch $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$e = 0 - 25$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $25$ von $0$ .

$e = - 25$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 5)}^{2} - 25$ ein.

$\int \sqrt{{(x + 5)}^{2} - 25} d x$

Schritt 2

Sei $u = x + 5$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = x + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u^{2} - 25} d u$

Schritt 3

Sei $u = 5 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \sec (t)$ an.

$\int \sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$\int \sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ heraus.

$\int \sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{25 \tan^{2} (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.6

Schreibe $25 \tan^{2} (t)$ als ${(5 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 5 \tan (t) (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\int 25 \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4.2.2

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t) d t$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int 25 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t) d t$

Schritt 4.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 25 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Schritt 4.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 25 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 5

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $25$ aus dem Integral.

$25 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 6

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$25 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 7

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$25 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

$25 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$25 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$25 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 11

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 12

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 13

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Schritt 14

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Schritt 15

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 17

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Addiere $1$ und $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 17.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 18

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Schritt 19

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 19.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 20

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Schritt 21

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 23

Addiere $1$ und $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 24

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Schritt 25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Schritt 26

Addiere $2$ und $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 27

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 28

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 29

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 30

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 30.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 31

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 32

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$25 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Schritt 33

Vereinfache.

$25 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 34.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$25 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34.2

Addiere $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ und $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34.3

Kombiniere $25$ und $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{25 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

Schritt 35

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 35.1

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{u}{5})$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{u}{5})) \tan (arcsec (\frac{u}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{5})) + \tan (arcsec (\frac{u}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 35.2

Ersetze alle $u$ durch $x + 5$ .

$\frac{25 (\sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.1

Die Funktionen Sekans und Arkussekans sind Inverse.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.2

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{x + 5}{5})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (arcsec (\frac{x + 5}{5}))$ $\sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x + 5}{5}$ und $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5.3

Addiere $5$ und $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5.7

Schreibe $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.5.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5.7.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.5.7.3

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.6

Mutltipliziere $\frac{x + 10}{5}$ mit $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.8

Schreibe $\frac{(x + 10) x}{25}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.8.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 10) x$ heraus.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.8.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.8.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5} (\frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x}) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{25 (\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.11

Multipliziere $\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{x + 5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{5 \cdot 5} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.11.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 (\frac{x + 5}{25} \sqrt{(x + 10) x} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.12

Kombiniere $\frac{x + 5}{25}$ und $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 5}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.13.1

Die Funktionen Sekans und Arkussekans sind Inverse.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \tan (arcsec (\frac{x + 5}{5})) |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.2

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{x + 5}{5})}^{2} - 1^{2}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x + 5}{5}$ und $b = 1$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + 1) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.13.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{(\frac{x + 5}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 5 + 5}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5.3

Addiere $5$ und $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1)} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} (\frac{x + 5}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5.7

Schreibe $\frac{x + 5 - 1 \cdot 5}{5}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.13.5.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 5 - 5}{5}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5.7.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x + 0}{5}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.5.7.3

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{x + 10}{5} \cdot \frac{x}{5}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.6

Mutltipliziere $\frac{x + 10}{5}$ mit $\frac{x}{5}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{5 \cdot 5}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.7

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{(x + 10) x}{25}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.8

Schreibe $\frac{(x + 10) x}{25}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.1.13.8.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 10) x$ heraus.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{25}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.8.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.8.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 10) x)}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 10) x)} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 10) x} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.13.10

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\sqrt{(x + 10) x}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}}{5} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.15

Stelle die Faktoren in $x + 5 + \sqrt{(x + 10) x}$ um.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (| \frac{x + 5 + \sqrt{x (x + 10)}}{5} |))}{2} + C$

Schritt 36.1.16

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}))}{2} + C$

Schritt 36.2

Um $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot \frac{25}{25})}{2} + C$

Schritt 36.3

Kombiniere $- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ und $\frac{25}{25}$ .

$\frac{25 (\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x}}{25} + \frac{- \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25})}{2} + C$

Schritt 36.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Schritt 36.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 36.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{25}}{2} + C$

Schritt 36.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5}) \cdot 25}{2} + C$

Schritt 36.6

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$\frac{(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Schritt 36.7

Stelle die Faktoren in $(x + 5) \sqrt{(x + 10) x} - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})$ um.

$\frac{\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{| x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |}{5})}{2} + C$

Schritt 37

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (\sqrt{x (x + 10)} (x + 5) - 25 \ln (\frac{1}{5} | x + 5 + \sqrt{x (x + 10)} |)) + C$