Analysis Beispiele

$\int t^{5} - 4 e^{- 10 t} d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int t^{5} d t + \int - 4 e^{- 10 t} d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{5}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{6} t^{6}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \int - 4 e^{- 10 t} d t$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{- 10 t} d t$

Schritt 4

Sei $u = - 10 t$ . Dann ist $d u = - 10 d t$ , folglich $- \frac{1}{10} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - 10 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- 10 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 10 t]$

Schritt 4.1.2

Da $- 10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 10 t$ nach $t$ gleich $- 10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 10 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$- 10$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{u} \frac{1}{- 10} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int e^{u} (- \frac{1}{10}) d u$

Schritt 5.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 \int - \frac{e^{u}}{10} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C - 4 (- \int \frac{e^{u}}{10} d u)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + 4 \int \frac{e^{u}}{10} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + 4 (\frac{1}{10} \int e^{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $4$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{4}{10} \int e^{u} d u$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 (2)}{10} \int e^{u} d u$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2}{5} \int e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + C + \frac{2}{5} (e^{u} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{6} t^{6} + \frac{2}{5} e^{u} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $- 10 t$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + \frac{2}{5} e^{- 10 t} + C$