Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{4 x^{3}} d x d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x d x$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x x$

Schritt 2.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{d}{4}$ .

$\frac{x d}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{x d}{4} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x d}{4} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x d}{4} \int x^{- 3} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{x d}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x d}{4} (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 4.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x d}{4} (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{x d}{4} (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$ als $\frac{1}{4} x d (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$ um.

$\frac{1}{4} x d (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x$ .

$\frac{x}{4} d (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{x}{4}$ und $d$ .

$\frac{x d}{4} (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{x d}{4}$ mit $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{x d}{4 (2 x^{2})} + C$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{x d}{8 x^{2}} + C$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x d$ heraus.

$- \frac{x (d)}{8 x^{2}} + C$

Schritt 4.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$- \frac{x (d)}{x (8 x)} + C$

Schritt 4.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x d}{x (8 x)} + C$

Schritt 4.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d}{8 x} + C$