Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} d x d x$

Schritt 1.2

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x d x$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x d x$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x d x$

Schritt 1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 2}{3}} d x d x$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{2}{3}} d x d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$(3 x^{\frac{1}{3}} + C) d x$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache.

$3 x^{\frac{1}{3}} d x + C$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 d (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) + C$

Schritt 3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 d x^{\frac{1}{3} + 1} + C$

Schritt 3.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 d x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + C$

Schritt 3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 d x^{\frac{1 + 3}{3}} + C$

Schritt 3.2.5

Addiere $1$ und $3$ .

$3 d x^{\frac{4}{3}} + C$