Analysis Beispiele

$\int \frac{\csc (x) \cos (x)}{\sin (x)} d x$

Schritt 1

Separiere Brüche.

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\sin (x)} d x$

Schritt 2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)} d x$

Schritt 3

Schreibe $\frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$\int \frac{\cos (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) d x$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Schritt 4.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{1} (x) \sin (x)} d x$

Schritt 5.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \cos (x) \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} d x$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \cos (x) \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 6.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$\int \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} d x$

Schritt 7

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Schritt 8

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot (x) d x$

Schritt 9

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\int \csc (x) \cot (x) d x$

Schritt 10

Da die Ableitung von $- \csc (x)$ gleich $\csc (x) \cot (x)$ ist, ist das Integral von $\csc (x) \cot (x)$ gleich $- \csc (x)$ .

$- \csc (x) + C$