Analysis Beispiele

$\int arccot (5 y) d y$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = arccot (5 y)$ und $d v = 1$ .

$arccot (5 y) y - \int y (- \frac{5}{1 + 25 y^{2}}) d y$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{5}{1 + 25 y^{2}}$ .

$arccot (5 y) y - \int - \frac{y \cdot 5}{1 + 25 y^{2}} d y$

Schritt 2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$arccot (5 y) y - \int - \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$arccot (5 y) y - - \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$arccot (5 y) y + 1 \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$ mit $1$ .

$arccot (5 y) y + \int \frac{5 y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{y}{1 + 25 y^{2}} d y$

Schritt 6

Sei $u = 1 + 25 y^{2}$ . Dann ist $d u = 50 y d y$ , folglich $\frac{1}{50} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 1 + 25 y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $1 + 25 y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 25 y^{2}]$

Schritt 6.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 25 y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$

Schritt 6.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [25 y^{2}]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [25 y^{2}]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $25$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $25 y^{2}$ nach $y$ gleich $25 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 25 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 25 (2 y)$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$0 + 50 y$

Schritt 6.1.4

Addiere $0$ und $50 y$ .

$50 y$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{50} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{50}$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{u \cdot 50} d u$

Schritt 7.2

Bringe $50$ auf die linke Seite von $u$ .

$arccot (5 y) y + 5 \int \frac{1}{50 u} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{50}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{50}$ aus dem Integral.

$arccot (5 y) y + 5 (\frac{1}{50} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{50}$ und $5$ .

$arccot (5 y) y + \frac{5}{50} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $50$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$arccot (5 y) y + \frac{5 (1)}{50} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $50$ heraus.

$arccot (5 y) y + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$arccot (5 y) y + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \ln (| u |) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $1 + 25 y^{2}$ .

$arccot (5 y) y + \frac{1}{10} \ln (| 1 + 25 y^{2} |) + C$