Analysis Beispiele

$\int \cos^{5} (11 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 11 x$ . Dann ist $d u_{1} = 11 d x$ , folglich $\frac{1}{11} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 11 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Schritt 1.1.2

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$11$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos^{5} (u_{1}) \frac{1}{11} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\cos^{5} (u_{1})$ und $\frac{1}{11}$ .

$\int \frac{\cos^{5} (u_{1})}{11} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{11}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{11}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{11} \int \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Faktorisiere $\cos^{4} (u_{1})$ aus.

$\frac{1}{11} \int \cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{11} \int {\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2

Schreibe ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\frac{1}{11} \int {(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Schreibe $\cos^{2} (u_{1})$ in $1 - \sin^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{11} \int {(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{11} \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Schritt 8

Multipliziere ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 8.1

Schreibe ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ als $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ um.

$\frac{1}{11} \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{11} \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{11} \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{11} \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 8.5

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{11} \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 8.6

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{11} \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{11} \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{11} \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{11} \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{11} \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.11

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{11} \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{11} \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Schritt 8.13

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{11} \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 8.14

Subtrahiere ${u_{2}}^{2}$ von $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{11} \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 8.15

Stelle $- 2 {u_{2}}^{2}$ und ${u_{2}}^{4}$ um.

$\frac{1}{11} \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.16

Bewege $1$ .

$\frac{1}{11} \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2}$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{11} (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{11} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Schritt 11

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{11} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2})$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{11} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2})$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{11} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{11} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Schritt 14.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{11} (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C)$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$\frac{1}{11} (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2}) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{11} (\frac{\sin^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \sin^{3} (u_{1})}{3} + \sin (u_{1})) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $11 x$ .

$\frac{1}{11} (\frac{\sin^{5} (11 x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (11 x)}{3} + \sin (11 x)) + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{11} (\frac{1}{5} \sin^{5} (11 x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (11 x) + \sin (11 x)) + C$