Analysis Beispiele

$\int \frac{l}{n π} \cdot \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{l}{n π}$ und $\cos (\frac{n π x}{l})$ .

$\int \frac{l \cos (\frac{n π x}{l})}{n π} d x$

Schritt 2

Da $\frac{l}{n π}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{l}{n π}$ aus dem Integral.

$\frac{l}{n π} \int \cos (\frac{n π x}{l}) d x$

Schritt 3

Sei $u = \frac{n π x}{l}$ . Dann ist $d u = \frac{π n}{l} d x$ , folglich $\frac{l}{π n} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \frac{n π x}{l}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{n π x}{l}]$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{n π}{l}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{n π x}{l}$ nach $x$ gleich $\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{n π}{l} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{n π}{l} \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{n π}{l}$ mit $1$ .

$\frac{n π}{l}$

Schritt 3.1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{π n}{l}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π n}{l}} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{π n}{l}$ zu dividieren.

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) (1 \frac{l}{π n}) d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{l}{π n}$ mit $1$ .

$\frac{l}{n π} \int \cos (u) \frac{l}{π n} d u$

Schritt 4.3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{l}{π n}$ .

$\frac{l}{n π} \int \frac{\cos (u) l}{π n} d u$

Schritt 5

Da $\frac{l}{π n}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{l}{π n}$ aus dem Integral.

$\frac{l}{n π} (\frac{l}{π n} \int \cos (u) d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{l}{π n}$ mit $\frac{l}{n π}$ .

$\frac{l \cdot l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.2

Potenziere $l$ mit $1$ .

$\frac{l^{1} l}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.3

Potenziere $l$ mit $1$ .

$\frac{l^{1} l^{1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{l^{1 + 1}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{l^{2}}{π n (n π)} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.6

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π))} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.7

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n (π^{1} π^{1}))} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{l^{2}}{n (n π^{1 + 1})} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{l^{2}}{n (n π^{2})} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.10

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n π^{2}} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.11

Potenziere $n$ mit $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{1} n^{1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{l^{2}}{n^{1 + 1} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Schritt 6.13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \int \cos (u) d u$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} (\sin (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}} \sin (u) + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{l^{2}}{n^{2} π^{2}}$ und $\sin (u)$ .

$\frac{l^{2} \sin (u)}{n^{2} π^{2}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{n π x}{l}$ .

$\frac{l^{2} \sin (\frac{n π x}{l})}{n^{2} π^{2}} + C$