Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{12}}^{\frac{π}{9}} \sec^{2} (3 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{lower} = 3 \frac{π}{12}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$u_{lower} = 3 \frac{π}{3 (4)}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = 3 \frac{π}{3 \cdot 4}$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{9}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 (3)}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3 \cdot 3}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sec^{2} (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} \tan (u)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 5

Berechne $\tan (u)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{3} - 1 \cdot 1)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{3} - 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} \sqrt{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.24401693 \dots$